מהו כדור? מי לא רוצה להיות מיליונר? ומה ערכו של עלבון במשוואה הזאת?

.
.
חידת פרלמן : סיפור על גאון ועל פריצת הדרך המתמטית של המאה. מרתה גסן.
עברית: דפנה לוי
ידיעות ספרים / ספרי עליית הגג
263 עמודים
.
ב-8 באוגוסט 1900, בכנס מתמטיקאים שהתקיים בפריס, קם דוד הילברט,
אולי המתמטיקאי החשוב ביותר של סוף המאה ה-19 וראשית המאה ה-20,
והציג 10 שאלות פתוחות (מתוך רשימה מלאה שכללה 23 שאלות שאת
חלקן בחר שלא להציג באירוע זה). "אלה", אמר הילברט, "הבעיות שמן
הראוי שיעסיקו מתמטיקאים – ושיימצא להן פתרון – במאה ה-20". רוב
הבעיות שהציג הילברט אכן נפתרו במאה ה-20, אך כמה מהן נותרו עדיין
פתוחות.
.
השאלות של הילברט הפכו למושג – שלא לומר מותג – בעולם המתמטיקה,
וכמו תמיד, כאשר מישהו עושה משהו שזוכה לפרסום רב, יש מי שמנסה
לקחת חלק בהצלחה, ויש מי שמנסה לשחזר אותה. כך קרה, שבפרוס
המילניום השלישי, הכריז מכון קליי למתמטיקה, הנמצא בקיימברידג',
מסצ'וסטס, על רשימה של שבע הבעיות של המאה ה-21; ועל פרס של
מיליון דולר לכל מי שיצליח לפתור אחת מהבעיות האלה.
.
הבעיה
.
הבעיה הראשונה ברשימה זו (השערת רימן על פונקציית זטא של רימן),
נכללה למעשה ברשימת הילברט, אלא שנותרה לא פתורה מאז. הבעיה
השלישית ברשימה – השערת פואנקרה (שהציע אנרי פואנקרה בשנת
1904) העוסקת בתכונותיה של מעטפת כדור במערכות העלות
מספר ממדים.
.
הנה הסבר עם דוגמה: נניח שאנחנו לוקחים כדור, מקמטים את המעטפת
שלו, מעצבים אותו מחדש ויוצרים ממנו משהו שנראה מאוד לא מסודר,
מאוד מסובך, ואשר ממש לא מזכיר כדור. אבל אם בכל התהליך הזה לא
קרענו את המעטפת, כי אז לכל נקודה על הגוף המקורי, אפשר להתאים
נקודה על הגוף ה"מעוצב מחדש". לתכונה הזאת, המתמטיקאים קוראים
"הומאומורפיזם". עכשיו, אם מתקיים הומאומורפיזם, אפשר לקחת
גומיה רגילה, להניח אותה על הגוף (בתצורתו המקורית או החדשה),
ולכווץ אותה, לאט לאט, לנקודה אחת – מבלי להרים שום קטע ממנה
מפני השטח של הגוף. המתמטיקאים אומרים שאם אפשר לעשות זאת,
כי אז הגוף שעל פני המעטפת שלו כיווצנו את הגומייה – הוא כדור.
כלומר, כדור במובן העמוק של המלה.
.
.

.
.
בימיו של אנרי פואנקרה היה ידוע שגוף דו-ממדי חסום וסגור שאפשר
לכווץ עליו גומיה, מקיים את תכונת ההומיאומורפיזם האופיינות לכדור. אבל
פואנקרה שיער שאלה הם פני הדברים גם במעטפת כדור תלת ממדית.
אחריו, שיערו אחרים שהכלל הזה נשמר גם במערכות בעלות
ממדים רבים יותר: ארבעה ממדים, שבעה ממדים, 20 ממדים, 687
ממדים ולמעשה, בכל מערכת אפשרית. סטיב סמייל הוכיח (בשנת 1966) את
ההשערה בחמישה, ששה, שבעה ושמונה ממדים. העבודה הזאת זיכתה
אותו במדליית פילדס, הפרס היוקרתי ביותר בעולם המתמטיקה, המוענק
אחת לארבע שנים, למתמטיקאים שטרם חצו את גיל 40. מייקל פרידמן
הוכיח, בשנת 1982, את ההשערה בארבעה ממדים. גם הוא זכה על כך
במדליית פילדס.
.
נשארה השאלה באשר למערכת של שלושה ממדים, דווקא זו שלאינטואיציה
שלנו קל יותר "להסתדר" אתה. אבל מתברר שמה שקל באינטואיציה, קשה
בעולם המתמטיקה. מתמטיקאים מכל העולם נאבקו במשימה הזאת, ללא
הצלחה, עד שבסדרת מאמרים שפירסם – בשנים 2002–2003, הציע גרגורי
("גרישה") פרלמן, מסנט-פטרסבורג שברוסיה, פתרון (שיצא לדרך ממתווה
ששרטט ריצ'ארד המילטון). ההוכחה שניסח תוארה במאמר שהשתרע
על-פני 473 עמודים. עד כאן התנהלו הדברים במסלול רגיל.
.
מכונת מחקר משומנת
.
אבל בנקודה הזאת, כאשר מתמטיקאים רבים החלו לבחון לעומק את הפתרון
שהציע פרלמן (תהליך שנמשך שנים), נכנסו לתמונה המתמטיקאי הסיני,
שיו-טונג יאו מאוניברסיטת הרווארד, יחד עם חברי קבוצתו (דאז) ג'ו שיפינג
מאוניברסיטת ג'ונגשאן שבסין, וצ'או הואי דונג מאוניברסיטת לייהייג
שבפנסילבניה. יחד איתם עבדו עשרות תלמידי מחקר וחוקרים בתר-דוקטוריאליים.
מכונת מחקר גדולה, יעילה וממומנת היטב. בשלושה ביוני 2006 עמד יאו על
בימת האקדמיה הסינית הלאומית למדעים, בבייג'ינג והודיע שה"מתווה הלא
שלם" של פרלמן הוביל אותו ואת שותפיו ל"מסע חקר" שהסתיים ב"פתרון
שלם" של השערת פואנקרה.
.
לא, תודה
.
בינתיים, לאחר בדיקות ובירורים החליטו מומחים רבים כי הפתרון הראשון
שפירסם פרלמן הוא אכן פתרון שלם (ולא רק "מתווה"). כפועל יוצא מכך
הוחלט להציע לפרלמן את מדליית פילדס (שלישית באותו תחום). טקס ההענקה
נועד להתקיים ב-22 באוגוסט 2006 במדריד, שם היה מלך ספרד, חואן קרלוס,
אמור להעניק את המדליה לזוכה. אבל פרלמן סירב לקבל את הפרס.
.
מיליון דולר
.
ב-18 במרץ 2010 הכריז מכון קליי על זכאותו של פרלמן לפרס מיליון הדולר.
פרלמן, שחי בצניעות רבה (שלא לומר בעוני) סירב לקבל גם את הפרס הזה.
זיכרון העלבון הכרוך בחוסר האמון של יאו, בניסיון המחטף ובאי-ההגנה שלה
זכה מצד הקהילה המדעית הבין-לאומית, הותיר אותו כועס עד כדי כך, שמתמטיקאים
שניסו לדבר על לבו נדחו. למעשה, פרלמן הודיע שאינו מעוניין עוד בכל שיג ושיח עם
מתמטיקאים. מה שנתפס בעיניו כניסיון מחטף בוטה, תוך שימוש ביתרון משמעותי
של גודל ועוצמה כלכלית, "הוציא לו את החשק" והוא הודיע על פרישתו מעיסוק
במתמטיקה. אם אתם נוהגים כך, אל יהי חלקי עמכם. בספטמבר 2011 החליט מכון
קליי לתרום את הסכום כמלגות לסטודנטים למתמטיקה.
.
הסופרת הרוסית מאשה גֶסֶן ניסתה להתחקות אחר המנגנונים הנפשיים שמאפשרים
לפרלמן לוותר על מדליית פילדס, על מיליון דולר, ועל עיסוק (מתמטיקה) שלו
הקדיש את כל חייו, עד לרגע המשבר. היא מביאה ראיונות עם בני כיתה של פרלמן,
מוריו, מאמניו, חבריו לנבחרות הסובייטיות לאולימפיאדות המתמטיקה, עמיתים
מרוסיה, מאמריקה ומסין, וגם מישראל. ניא מגיעה לתובנה שמוח מיוחד וייחודי כזה
של פרלמן לא בנוי ל"יום קטנות". הוא לא מסוגל, או לא רוצה להתמודד עם
המציאות האפרורית, היום-יומית, האנושית. כשהוא נתקל ביריבויות, בקנאות,
ביצרים – הוא נסוג. בתחילה מן העולם המתמטי, ואז, בהדרגה, מן העולם כולו.
.
היא מתארת את אמות המידה הקיצוניות והבלתי מתפשרות של פרלמן בנוגע
לאמת, לידידים, לפרסים, לפרסום ולגבי המתמטיקה וההשלכות החריפות של
יישום אמות המידה הללו על חייו: "מרגע שהצטרף פרלמן למועדון המתמטיקה
של רוקשין כשהיה בן עשר — או אולי בשלב מוקדם הרבה יותר, כשאמרה
אימו למורה שלה שהיא עוזבת את המתמטיקה כדי להקים משפחה — היה
פרלמן פרויקט מתמטי אנושי. אימו גידלה אותו, רוקשין בנה אותו, ריז'יק פינק
אותו, אברמוב אימן אותו, זלגלר כיוון אותו, אלכסנדרוב הגן עליו, בוראגו טיפל
בו, וגרומוב קידם אותו כדי שיוכל לעסוק במתמטיקה טהורה בעולם של
מתמטיקה טהורה. פרלמן גמל למוריו ולמיטיביו כשעשה את הדבר הזה בדיוק:
פתר את הבעיה הקשה ביותר שמצא. וכשסיים את המלאכה, הוא ציפה
לדברים מסוימים בתמורה. לא כסף, לא מדלייה. הוא רצה הכרה במיוחדותו.
כשיאו וצוותו ערערו על כך, ואף ניסו להתחרות בו, ובדרך זו "העזו" להשוות
את עצמם אליו, הוא, פשוט, נסוג לאחור. ואז באו הכעס, הזיכרון הבלתי-מתפשר
שלא איפשר לכאב לדעוך, והשאר היסטוריה
.