יש מי שזקוקים לחלליות מהירות מהאור כדי להגיע לעולמות מרוחקים. ויש
מי שיוצאים למסעות האלה כשבידיהם פיסת נייר ועיפרון בלבד. אלה הם
המתמטיקאים שמשנים את חוקי המשחק ובוראים (בדמיונם) מימדים
חדשים, שבהם התנאים, המוסכמות והנורמות, שונים לחלוטין מאלה
שהורגלנו להם בעולמנו המציאותי, במרחב-זמן הארבע ממדי שאליו אנו
רגילים ושבו אנו חיים.
המרחבים הרב-ממדיים הדמיוניים הללו, מכונים "מרחבי בנך"
על-שמו של סטפן בנך, מתמטיקאי פולני שעסק בחקר המרחבים הללו בעיר
לבוב שבפולין, בראשית המאה ה-20. המחקר בגיאומטריה של מרחבי בנך התפתח
מאוד בשלוש השנים האחרונות ונמצאו לו קשרים מעמיקים ומפתיעים
לפיסיקה, תורת ההסתברות, תורת המספרים, ועוד.
הרעיון המרכזי של תחום המחקר הזה, העוסק למעשה ב"בריאת" מרחבים
חדשים, רבי ממדים, אומר שלפעמים אפשר לראות עצמים מורכבים ומסובכים
(ורב-ממדיים, כמו, למשל, פונקציה שלמה), כמעין נקודות במרחב רב-ממדי
מופשט. הכרת המבנה הגיאומטרי של המרחב הרב-ממדי הזה עשויה לאפשר את
חקר הגופים המורכבים הללו, בדרך דומה לדרך שבה חוקרים במרחב-זמן
הארבע ממדי המציאותי שלנו, גורמים פשוטים כמו קווים ישרים ונקודות.
"חוקי משחק שונים" מתבטאים, למשל, בדרך שבה מודדים את אורכו
של וקטור מסוים, במערכת צירים נתונה (וקטור הוא החץ הישר, הטבעי,
בין מרכז מערכת הצירים לבין נקודה נתונה). לדוגמה, וקטור שנמשך
ממרכזה של מערכת צירים דו-ממדית עד לנקודה הניצבת מול הספרה 3 על
ציר הגובה, והספרה 4 על ציר הרוחב (אין זה חשוב, במקרה זה, באיזה
יחידות אורך משתמשים. החשיבות היחידה נודעת ליחס שמתקיים ביניהן).
כדי למצוא את אורך הווקטור הזה, במרחב-זמן המציאותי שלנו, מציירים
משולש שקודקודיו הם: הנקודה הנתונה, מרכז מערכת הצירים ואחת מהנקודות
שמול הנקודה הנתונה, על אחת ממערכות הצירים. מכיוון שאורכן של שתי
צלעות המשולש ידוע, אפשר לחשב (לפי משפט פיתגורס) את אורכה של הצלע
השלישית, שהיא הווקטור ולמצוא שבמקרה זה אורכה הוא 5. עוד דוגמה:
במערכת צירים דו-ממדית הנתונה במציאות שלנו, אוסף כל הנקודות שמרחקן
ממרכז מערכת הצירים שווה, יוצר מעגל. העיגול הנוצר על-ידי כל
הנקודות שמרחקן ממרכז מערכת הצירים שווה לאחד, הוא "עיגול היחידה".
עיגול היחידה במערכת צירים תלת-ממדית, יתבטא בגוף תלת-ממדי: כדור.
אבל, כאשר מתחילים לשנות את חוקי המשחק, עשויות להתקבל תשובות
שונות לשאלת אורכו של אותו וקטור עצמו. נחזור לרגע למערכת הצירים
ולנקודה הניצבת מול הספרה 3 על ציר הגובה ומול הספרה 4 על ציר
הרוחב. לפי חוקי המשחק המקובלים במרחב שלנו, אורכו של הווקטור שבין
מרכז מערכת הצירים לבין הנקודה הזאת, הוא. 5 . אפשר, למשל, לקבוע חוק
חדש, שלפיו אורך הווקטור ייקבע לפי סיכום הערכים של הספרות שמול
הנקודה הנתונה, על שני צירי המערכת. כלומר: 4 + 3 = 7 אפשר לקבוע
חוק שלפיו מתעלמים מהמספר הקטן, ואורך הווקטור נקבע כשווה לערכו של
המספר הגדול יותר, במקרה הזה, אורך הווקטור ייקבע כ-4. כלומר, לפי
חוקי משחק שונים, אורכו של אותו וקטור עצמו, יכול להיקבע בדרכים
שונות ולקבל ערכים שונים: 5 או 7, או 4, ועוד. הדבר דומה לאדם
הנכנס לחדר המלא מראות עקומות, שכל אחת מהן משקפת את דמותו בדרך
שונה.
שינוי חוקי המשחק בדרך זו, אינו יכול להתבצע, כמובן, במסגרתם
של ממדים מן הסוג המוכר לנו, ולפיכך אינו יכול להתבצע במרחב
המציאותי שלנו. לשם כך יש צורך במרחבים כלליים
יותר, אלה המרחבים הקרויים מרחבי בנך. כל חוק חדש כזה, המתאר דרך או
שיטה חדשה לחישוב אורכו של וקטור, יוצר, למעשה, מרחב בנך חדש. ההבדל
בין מרחבי בנך השונים נובע, איפוא, מההבדל בין הדרכים שבהן מחשבים
בהם או אורכם של וקטורים.
בניגוד לרושם שאולי היה יכול להיווצר עד כאן, לא כל החלטה
שרירותית יכולה להתקבל כחוק חדש, או כ"נורמה" היוצרת מרחב חדש.
מגבלות ה"חקיקה" קובעות כתנאי ראשון, שכל חוק חדש חייב לתאר את
אורכו של כל וקטור כגודל חיובי או שווה לאפס. חוק שיאפשר את קיומם
של וקטורים בעלי אורך שלילי, מקומו לא יכירנו במסגרת מרחבי בנך.
התנאי השני: כל חוק חדש חייב להראות שהווקטור היחיד שאורכו
שווה לאפס, הוא וקטור האפס. כלומר, אסור שהחוק יאפשר קביעה שווקטור
בעל אורך כלשהו, יוגדר כווקטור בעל אורך אפס. התנאי השלישי: החוק
החדש חייב לקיים את "אי שוויון המשולש", כלומר, את הכלל הקובע שסכום
אורכן של שתי צלעות במשולש, יהיה תמיד גדול מאורכה של הצלע השלישית.
התנאי הרביעי: החוק החדש חייב לוודא שווקטור שאורכו שווה לשלושה
וקטורים אחרים, השווים ביניהם באורכם, יהיה ארוך פי שלוש מכל אחד מבין
שלושת הווקטורים הללו.
.
זה הכל.
.
חוץ מארבעת הגבלות הללו, הכל מותר. מכאן ואילך יכולים המתמטיקאים
העוסקים בחקר מרחבי בנך, לפתח חוקי משחק חדשים, שיוצרים
מרחבים רב-ממדיים חדשים, שבהם יכולים להתקיים מבנים רב-ממדיים
מורכבים שאינם יכולים להתקיים במרחב-זמן שלנו, וגם לא במרחב הילברט
הכולל אין-סוף מימדים. השאלה המרכזית הנשאלת כאן, היא, איזה תכונות
של המרחב הטבעי "שלנו", נשמרות גם במסגרתם של אותם מרחבים "פרועים".
האמת היא, שכל כמה שמרחבי בנך הרב-ממדיים שונים מהמרחב המוכר
והמציאותי שבו אנו חיים, הם עשויים לסייע לנו להבין טוב יותר את
עולמנו שלנו. במיוחד כאשר מדובר במערכות גדולות מאוד של נתונים או
משתנים. אם נרצה, למשל, לתאר באופן מתמטי את מצבה של כל אוכלוסיית
העולם, נוכל לראות כל אדם כאילו הוא מהווה מימד נפרד, ולבחון את
השתנותו בזמן. כך יהיו לנו משה-שעה 10, יעקב-שעה 10, אברהם-שעה 10,
ועוד. כעבור שעה, יהיו לנו משה-שעה 11, יעקב-שעה 11, אברהם-שעה 11,
ועוד, שהם שונים במידה זו או אחרת מכפי שהיו לפני שעה (השינוי הוא
פרטי ושונה מאדם לאדם). אם נרצה, למשל, להבין את השינוי שחל במשך
השעה הזאת באוכלוסיית העולם, יהיה זה רק טבעי אם נתייחס בעיקר
לשינויים המרביים, הגדולים ביותר. כלומר, נקבל את שיטת המדידה
הקובעת שאורכו של וקטור שווה לערך הגדול מבין הקואורדינטות (רכיבים)
שלו, כפי שבדוגמה נקבע שאורכו של הווקטור הוא ארבע. זו שיטת מדידה
שאינה מקובלת בעולם שלנו, שנוסחה במסגרת מרחב בנך. כלומר, שיטת
"מדידת המקסימום" הזאת, הנראית "מטורפת" במרחב המציאותי שלנו,
שנבראה במסגרת מרחב רב-ממדי דמיוני, יכולה לחזור למציאות, ובתנאים
מסוימים, אפילו להתקבל בה כשיטת מדידה "טבעית".
שיטה זו מתאימה גם לתיאור מרווח הטעות האפשרי של מערכות
ממוחשבות, הנדרשות לספק פתרונות לא שלמים לחלוטין לבעיות מורכבות
מאוד, שאי-אפשר לפותרן במדויק, בתחומי הכימיה והפיסיקה. גם במקרה
הזה, מה שחשוב הוא מהי הטעות המרבית שעלולה להתרחש, וזו המדידה
ה"טבעית" שמשתמשים בה ולא ממוצע משוקלל בדרך זו או אחרת, בין כל
הטעויות האפשריות (הרבות מאוד). גם בתחומים שונים בכלכלה נוהגים
לעתים להשתמש בשיטת המדידה הזאת. במקרים אחרים, אפשר לפתור ולהבין
בעיות רבות העולות בעולם שלנו, באמצעות שיטות מדידה רבות ושונות
שנבראו במרחבי בנך השונים.
יחד עם זאת, כדאי לזכור עד כמה שיטת המדידה הזאת, המתקבלת
על-ידינו בתנאים מסוימים, עלולה להיראות לנו אבסורדית בתנאים אחרים.
כדי להמחיש זאת, אפשר לנסות לבצע באמצעותה את "עיגול היחידה" במערכת
צירים דו-ממדית. כזכור, עיגול היחידה הוא אוסף כל הנקודות, שמרחקן
ממרכז מערכת הצירים, שווה לאחד. קל לראות, שבמצב כזה, אם משתמשים
בשיטת המדידה המקסימלית, הנקודה שניצבת מול אחד על ציר האורך ומול אחד
על ציר הרוחב, תימדד גם היא כאחד, למרות שמרחקה ממרכז מערכת הצירים
גדול יותר. כתוצאה מכך,
.
"עיגול היחידה" בדרך זו, יוצר ריבוע.
.
במרחבי בנך אחרים, "עיגול היחידה" יוצר גופים בעלי תכונות גיאומטריות
שונות, ולמעשה, המרחב היחיד שבו "עיגול היחידה" יוצר עיגול או גוף
כדורי, הוא המרחב האוקלידי "שלנו", או מרחב הילברט, שבו, כאמור, כל
הממדים הרבים שווים זה לזה בתכונותיהם.
אחד מן המשפטים המרכזיים בתורת מרחבי בנך, פותח והוכח על-ידי
הפרופ' אריה דבורצקי, מהאוניברסיטה העברית וממכון ויצמן למדע, שיסד את
המחקר בתחום זה בארץ. משפט דבורצקי אומר, שלגוף בעל N ממדים שנוצר
בדרך של "עיגול היחידה", המתקיים במרחב רב-ממדי כלשהו, המוגדר
על-ידי נורמה כלשהי, קיים חתך דו-ממדי (למשל, חיתוך בסכין), העובר
דרך מרכזו, ה"דומה לעיגול". גוף "דמוי עיגול" הוא גוף שאפשר לכלוא
אותו בין שני מעגלים קונצנטריים, שהמרחק ביניהם קטן. ככל שהמרחק בין
שני המעגלים הכולאים קטן יותר, הדמיון בין הגוף הכלוא לעיגול רב
יותר, והוא זקוק ליותר מימדים.
ככל שהגוף המקורי מתקיים בממדים רבים יותר, מתרבים גם הממדים
של החתך הנעשה לפי משפט דבורצקי. כך אפשר לקבל חתך "דמוי כדור"
תלת-ממדי. חתך של גוף המתקיים במימדים רבים מאוד, עשוי להיות בעל
ממדים רבים.
המשמעות העמוקה ובעלת ההשלכות הרבות של המשפט הזה, היא, שגם
גוף בעל אין-סוף ממדים, אפשר לחתוך כך, שצורת החתך תהיה "דמויית
כדור". כלומר, שחלקים גדולים ממרחבים רב-ממדיים ואפילו ממרחבים בעלי
אין-סוף ממדים, מתנהגים לפי חוקי הגיאומטריה התקפים במרחב הילברט,
שהוא, כזכור, מרחב אוקלידי, כמו המרחב המציאותי המקובל עלינו.
ההוכחה המקורית של המשפט הזה נמשכה על-פני 60 עמודים, והיא גרמה
תפנית וקפיצת דרך משמעותית בחקר מרחבי בנך, וסייעה בהבנת תופעות
רב-ממדיות שונות, שאי-אפשר היה להבינן באמצעות האינטואיציה במרחב
תלת-ממדי.
מתי חתכים כאלה מגדירים מרחב הילברט, שבו, כמו בעולם שלנו, "עיגול
היחידה" יוצר גוף עגול? כלומר, איזה מרחבים רב-ממדיים "מטורפים",
הם בעלי מקרי גבול שעשויים להתאים למציאות כפי שאנחנו מכירים אותה?
אלה שאלות טובות שיידונו באחד המאמרים הבאים.
