.
המשפט האחרון של פרמה. סיימון קינג. תרגום: עודד שכטר. ספרי עליית
הגג / ידיעות אחרונות. 403 עמודים.
.
"המשפט הגדול של פרמה "קרוי על שמו של המתמטיקאי פייר
דה-פרמה שחי בצרפת במאה ה17-. למעשה, שימש פרמה יועץ משפטי
לפרלמנט של טולוז, והמתמטיקה הייתה בשבילו מעין" עיסוק צדדי".
אף על פי כן, הוא נחשב חלוץ בפיתוח תחומים שונים באופטיקה
ובמתמטיקה המודרנית: גיאומטריה אנליטית, חשבון אינפיניטסימלי,
הסתברות ועוד. נקודת המוצא של" המשפט הגדול "שלו היא, למעשה,
משפט פיתגורס.
.
כידוע, משפט פיתגורס מתאר קשר בין צלעותיו של משולש ישר
זווית, ולפיו, סכום ריבועי הניצבים במשולש כזה, שווה לריבוע היתר.
ניסיונות שונים למצוא קשר דומה בין מספרים שלמים, שיתבסס על
חזקות גבוהות משתיים (חזקה שלישית ומעלה), לא עלו יפה. פרמה טען
שיחס כזה אינו קיים, ושיש בידו הוכחה לכך. הטענה הזאת נמצאה רשומה
בכתב ידו, בשולי ספרו של המתמטיקאי היווני דיופנטוס, שחי ופעל במאה
השלישית לספירה. נראה שרעיון ההוכחה עלה במוחו של פרמה בעת שעיין
בספרו של דיופנטוס, והוא מיהר לרשום הערה על כך בשולי הספר. אבל הוא
לא הציג את ההוכחה בחייו, ולאחר מותו לא נמצא לה זכר ברשומותיו.
למעשה, במשך השנים עלו ספקות באשר לשאלה אם לפרמה אכן הייתה
הוכחה כזאת.
.
מאז עסקו מתמטיקאים בכל העולם בחיפוש אחר ההוכחה,
אך כל ניסיונותיהם לא עלו יפה. מתמטיקאים רבים הקדישו לבעיה
זו את חייהם וחובבים רבים נוהגים להציף את המתמטיקאים המקצועיים
בהצעות להוכחות, שחוזרות ומתגלות כחסרות בסיס. דוגמה לכך אפשר לראות
בספרו של קורנל מקושינסקי, "השד מכיתה ז'", שם מתואר אחיו של המורה
להיסטוריה, שהוא מתמטיקאי חובב האחוז דיבוק של הוכחת משפט פרמה.
.
בשנת 1847 הצליח המתמטיקאי הגרמני ארנסט א. קומר להוכיח את
טענתו של פרמה עד לחזקה השישית, אבל בהגיעו לחזקה השביעית – התמוטטה
ההוכחה. תוך שימוש במחשבים גדולים, הראו מתמטיקאים אחדים שפרמה צדק,
ככל שהדברים אמורים בחזקות עד ל-125,000 אבל הוכחה לא מוגבלת, לא
נמצאה. יותר מזה :המתמטיקאי הרוסי י. מטיאסיביץ 'הוכיח ששום מחשב
לא יוכל לעולם להשיב אם בעיה כללית מהסוג שאליו משתייך משפט פרמה,
ניתנת או שאינה ניתנת לפתרון. כך חזרה הבעיה לתחום שיפוטו הבלעדי של
המוח האנושי.
.
בשנת 1983 הראה המתמטיקאי הגרמני גרד פלטינגס, תוצאה כללית
המראה בין היתר, שמספר הפתרונות ה"פרימיטיוויים" האפשריים למשפט
פרמה, הוא סופי (בחזקה נתונה). בשנת 1987 טען המתמטיקאי היפאני יו
מיאוקה, שתוך המשכת עבודתו של פלטינגס, עלה בידו למצוא את ההוכחה למשפטו
הגדול של פרמה, אך עד מהרה נמצאו שגיאות בנוסח ההוכחה שהציע.
.
מאמץ משותף של המתמטיקאים גרהארד פריי, ז'אן פייר סר, ברי
מייזר וקן ריבט, ביסס תפיסה, שלפיה המשפט הגדול של פרמה נובע מהשערה
כללית הקרויה על שמם של המתמטיקאים יוטאקה טניאמה, אנדרי וייל וגורו
שימורה. משמעות הקשר הייתה, שמשפט פרמה אינו קוריוז, ושאם יתברר שאינו
נכון, עלולה ה"תמונה" שהסתמנה בתחום תורת המספרים, להשתנות לחלוטין.
.
מאותו קשר נובעת גם המסקנה שאם תוכח השערתם של טניאמה, ויל
ושימורה, יוכח למעשה גם משפטו הגדול של פרמה. בכיוון זה החל לחקור
המתמטיקאי אנדרו ויילס מאוניברסיטת פרינסטון, ארה"ב. במשך כחמש שנים
עבד בחשאי על השערת טניאמה וייל, ושימורה, תוך שימוש בעבודותיהם של
חוקרים רבים ממקומות שונים בעולם. כך מצא את ההוכחה שהציג במכון ניוטון
שבאוניברסיטת קימברידג', אנגליה.
.
לאחר אותה הצהרה ראשונה, נמנע ויילס מלהפיץ את נוסח ההוכחה
עצמו, שהשתרע על-פני כ-200 עמודים. במקום זאת, הסתפק במתן הנוסח
המלא למספר מצומצם של מתמטיקאים. בבדיקות שביצעו מתמטיקאים אלה,
נמצאו בהוכחה הראשונית מספר טעויות שתוקנו על-ידי ויילס, מייד
ובקלות יחסית. אבל טעות אחת" עקשנית "לא נכנעה לכל הניסיונות
והמאמצים לתקנה. במצב העניינים הזה, הודיע ויילס לעמיתיו, בכינוס
הארבע שנתי של האיגוד הבין-לאומי למתתמטיקה, שהתקיים בציריך, שווייץ,
שהוכחת משפט פרמה שניסח, "אינה מושלמת".
.
מאז שנתגלתה הטעות, ניסה ויילס לתקן את הטעות שהתגלתה מבלי
לפגוע במבנה הכללי של הוכחותו המקורית. במאמציו אלה, שנמשכו יותר משנה,
סייע לו תלמידו לשעבר, המתמטיקאי ריצ'ארד טיילור מאוניברסיטת
קימברידג', אנגליה. ואכן, בסופו של דבר הודיעו השניים כי עלה בידם לעקוף את
הטעות, ולעבור את המכשול האחרון בדרך לניסוח ההוכחה הנכספת.
ההוכחה החדשה מנוסחת בקיצור ובאלגנטיות יחסיים. היא נמשכת על-פני
כ-100 עמודים בלבד, בהשוואה לכ-200 עמודים שנדרשו להוכחה
המקורית.
.
הספר של קינג מביא את סיפורו של משפט פרמה, מהמנזר הצרפתי במאה ה-17, דרך
התרבות הגלובלית של המתמטיקאים שמקיימים ביניהם תקשורת המוצפנת
מתודעתם של שאר בני-האדם, ועד למאמצים של המתמטיקה המודרנית שבינתיים,
נראה שאכן הוכתרו בהצלחה.
.
